Jérémy Zurcher (Laboratoire Paul Painlevé)

Introduction à la méthode de Nourdin-Peccati

Le Théorème Central Limite Classique nous affirme que la moyenne empirique d'une suite indépendante et identiquement distribuée de variables aléatoires réelles converge vers une gaussienne, sous normalisation. Il s'agit du Théorème Limite le plus connu, et qui engendre un domaine qui est encore aujourd'hui au cœur de la recherche actuelle en Probabilités. De manière générale, on appelle Théorème Limite tout énoncé dont la conclusion fait intervenir une convergence en loi. Je compte présenter un Théorème Limite particulier, nommé Théorème du Quatrième Moment, qui évoque des conditions pour conclure en une convergence en loi vers la gaussienne standard pour des variables aléatoires appartenant à un certain espace nommé chaos de Wiener. Pour cela, je vais présenter l'approche de Nourdin et Peccati faisant intervenir le calcul de Malliavin et la méthode de Stein. Le premier est une théorie de calcul différentiel par rapport à ce qu'on nomme un processus isonormal tandis que la deuxième est un ensemble de techniques permettant d'estimer des distances entre une loi et la loi normale.